산술 기하 평균 부등식의 증명.
으엄청 많지만 그 중 하나
1. 젠센 부등식
사진은 나무위키꺼 캡쳐해왓고 증명은 n=2일 때는 자명하고, n에 대한 귀납 쓰면 이지
2. 산술 기하 평균 부등식
lnx는 증가함수 이므로 a_i가 양의 실수일 때
(a_1+a_2+...+a_n)/n ≥ (a_1*a_2*...*a_n)^(1/n)
<=> ln(a_1+a_2+...+a_n) ≥ ln((a_1*a_2*...*a_n)^(1/n))
<=> ln((a_1+a_2+...+a_n)/n) ≥ (1/n)*(ln(a_1)+ln(a_2)+...+ln(a_n))
이고, lnx는 오목함수이므로 젠센부등식에 의해 성립한다.
3. 가중치 산술 기하 평균 부등식
위에 2번의 증명을 보면 젠센부등식의 매애우 특수한 경우를 사용햇음을 알 수 잇다.
즉, 조금 생각해보면 간단하게 산술 기하 평균 부등식의 일반화된 꼴 또한 쉽게 증명할 수 잇다. (알아서 생각해보기)
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예..?
그냥 제가 케이스 2만개 해봤는데 다 되더라고요
귀납적 정리에 따라 q.e.d