칼럼) 수학실력 빠르게 늘리는 법
수학은 어떻게 공부해야 효율적일까요??
결론부터 말하자면 수학은 '모르는 걸 채우는게 중요하다' 고 생각합니다.
좀 더 쉽게 말하면, '문제를 풀다 잘 모르겠으면 과감히 답지를 봐도 좋다' 입니다.
저도 옛날에는 '수학 문제를 풀 때 답지를 보면 안 된다' 고 생각했었는데, 생각이 바뀌었습니다.
왜 답지를 빨리 보는 게 더 좋다고 생각하게 되었는지 이 글에서 말씀드리겠습니다.
국어, 영어는 지문을 읽고, 그 내용에 대한 이해-추론을 통해 답을 골라야 합니다. 지문에 답이 있다는 거죠.
하지만 수학은 지문 같은 게 없죠. 그래서 우리는 수학 개념과 유형을 머릿속에 집어넣어야 합니다.
그런데 내가 수학문제를 틀렸다는 건, 계산실수가 아닌 이상 무언가를 모르기 때문입니다.
이 '모른다'는 게, 개념일 수도 있고, 풀이 방법일 수도 있고, 접근법일 수도 있겠죠.
이건 고민한다고 나오는 게 아닙니다. 물론 고민하면 나올 수도 있고 그렇게 찾아내면 절대 까먹지야 않겠지만, 시간도 오래 걸리고 비효율적이라고 생각합니다.
공부할 때는 문제를 꼭 스스로의 힘으로 풀어내야 할 필요가 없습니다. 모르는 게 있으면, 내가 뭘 모르는지 정확히 파악하고 답지를 봐서 핀포인트로 해결하면 됩니다. 시험이 아니니까요. 그게 수학 실력을 늘리는 가장 빠른 방법이라고 생각합니다.
제가 대치동 고1 심화반에서 조교를 했었는데, 고등수학 상,하 고난도 심화문제들을 가르치는 반이었습니다.
근데 저는 고1 때 2~3등급이었습니다... 그래서 갔는데 문제를 하나도 못풀겠더라고요. 분명 내가 기본 개념은 다 아는데, 그걸 이리저리 적용해봐도 절대 안풀렸습니다. 그런데 결국 알게되었죠. 나는 그냥 '몰라서' 못푼거라는 것을요. 내가 응용력이 부족해서가 아니라, 그냥 '모르면 못 푸는' 문제들이었던 겁니다. 일명 '심화개념'을 알아야 풀 수 있었던 거죠. 선생님 수업을 엿듣고 교재도 달라고 해서 공부해서 겨우겨우 풀어줬습니다.
(물론 기본개념을 조합해서 나온 게 심화개념이긴 하지만, 그걸 시험장에서 하나하나 찾아내는건 시간적으로 말이 안되고 찾아내기도 힘들더라고요..!!)
그때 깨달았습니다. 수학은 모르면 그냥 알면 되는구나. 모르면 답지를 보고 공부하는게 가장 빠르구나. 내가 뭘 모르는데 굳이 혼자 풀어보겠다고 끙끙거릴 필요가 없다는 것을요...!!
학원알바도 했었는데, 수학 22번 문제들을 물어보더군요. 솔직히 저는 수험생 때 수학 초고난도 문제 풀 실력이 안 됐습니다. 그 이유는 어떻게든 혼자서 풀어보려고 아득바득했기 때문이었던 것 같아요. 초고난도 문제는 하나 푸는데 30~40분 걸리고, 그렇게 겨우 풀어서 맞으면 다행이지만 십중팔구 틀렸죠. 근데 앞에서 30~40분 공부해서 체력은 다 빠져서 답지보고 공부하기가 싫습니다. 그 문제에 질려버려서 다시 보기 싫은... 그런거요. 그래서 그냥 방치한 채로 수능장에 갔고, 결국 초고난도 문제 하나는 못풀어서 96점을 맞았습니다. 지금 생각해보면 참 멍청했던 짓이죠.
그래서 지금 다시 수능수학공부를 한다면, 22번 문제같은 고난도 문제들은 한 5~10분정도 열심히 풀어보고, 막힌다 싶으면 답지를 볼 것 같습니다. 몰라서 못 푸는 문제를 두고 낑낑거릴 바에, 그 노력을 답지 보고 풀이과정 공부하는 데 쓰는게 효율적이라고 생각하거든요.
물론, 시험장에는 답지가 없는데, 계속 답지에 의존하면 어떡하냐... 라는 걱정이 들 수도 있습니다. 그래서 주도권이 중요합니다. 내가 문제를 먼저 풀어보고, 무언가에 막혔으면, 그 무언가를 해결하기 위한 수단으로 답지를 보는 겁니다. 답지를 보고 내가 무엇을 몰랐는지 알게 되고, 그걸 공부한다면 문제는 생각보다 간단하게 풀릴 것입니다. 그리고 반드시 그 문제를 스스로 풀 수 있을때까지 다시 더 풀어보는 게 제일 중요합니다. 그래야 답지의 지식이 정말 내 것이 되기 때문이죠. 이렇게 능동적으로 빈 개념을 하나하나 채우면서 수학을 공부할 수 있다면, 정말 빠른 속도로 실력을 늘릴 수 있다고 생각합니다.
요약을 하자면 수학 문제풀 때, 너무 시간이 오래걸리는 것 같다 싶으면 (한 10분 넘어가면..!!) 답지를 빠르게 보는 것이 좋다. 하지만 반드시 그 문제를 스스로 풀 수 있을 때까지 다시 풀어봐야 한다!!
이런 문제들을 모아놓고 시간이 좀 지난 후 한번 더 풀어 보셔도 정말 좋다고 생각합니다.
제가 수능볼 때 이렇게 공부했으면 아마 100점을 맞지 않았을까... 싶네요 ㅜㅜ
여러분은 답지를 잘 활용하셔서 효율적으로 수학 공부하셨으면 좋겠습니다!!!
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형님 칼럼 항상 감사합니다 너무 도움되요
감사합니다!! ㅎㅎㅎ
이글보고 답지 보기로 했다오! 오늘도 좋은 칼럼 감사합니다!
어제 아침에 팔굽혀펴기 해봤는데 효과가 좋더라구요!
머리도 맑아지고 애매하게 뻐근한 것도 없어지는거 같아요!
오늘 올라온 칼럼 첨에 만우절기념인가? 하고 봤는데 아니었던… ㅎㅎㅎ
아 진짜 어려운 문제 몇십분 잡고 있다가 틀리면 해설이며 풀이며 질려서 보기 싫은거 너무 공감합니다 ㅜㅜ
스스로 풀 수 있을 때까지 다시 풀어보는거 정말 좋은거 같아요..! 항상 틀렸던 문제는 또 틀려서..
열심히 노력해서 다시 스스로 풀 수 있게 되도록 해 보겠습니다!
ㅋㅋㅋ 운동 열심히 하시면 도움 많이 될거에요!!
어려운 문제 오래잡고있으면...시간이나 정신력이나 손해라... 그시간에 빠르게 답지 보고 몇번 다시풀어보는게 가장 좋은것같습니닷 ㅎㅎ
넵! 앞으론 그렇게 해볼게요!"모든 배움은 모방에서 시작한다"
피카소
이거 구란데 피카소는 입체주의화가라 모방보단 미메시스기법을 주로 썼음
ㅋㅋㅋㅋㅋ.ㅋㅋㅋㅋㅋ.ㅋㅋㅋㅋㅋ
이씨 ㅋㅋㅋㅋ
좋아요 취소 되나요??
오호
사람마다 말이 너무 달라 ㅠㅠ
혹시 다른분은 어떻게 말씀하셨나요..??!,?
끝까지 답나올때까지 답지보지마라고요
전 20분 제한 걸고싶은데..
+좋은 글 감사합니다!
끝까지 풀어보면서 열심히 머리도 굴려보고 이렇게도 저렇게도 풀어보고 하면 도움이 될수는 있겠지만... 수능공부를 하는 학생 입장에서는 이게 너무 비효율적이지 않나 싶습니다..!! 본문에서도 말했듯이 그렇게 한문제 풀면 힘빠지고 질려서 다시 풀어보기도 힘들지 않나 싶습니다
그리고 일단 좀 알아야 뭐가 보인다고 생각해서요..!! 제가 고1 심화개념을 연구해서 직접 찾아냈다면 엄청나게 시간이 오래걸렸을거같아요. 근데 선생님들이 연구해서 만들어놓은 걸 흡수했기에 빠르게 공부할 수 있었던거같네요!!
만우절에 이런거 올리셔도 안 속습니다
못 푼 문제 답지를 본 뒤 노트에 정리하는 방식이 좋을까요 ?
본인에게 편한 방법으로 하시면 됩니다!! 저는 노트에 따로정리하는걸 싫어해서 일단 한번 답지보면서 스스로 풀어본 후 문제에 표시해놓고 나중에 한번 더 풀거같네요!!
저는 문제 풀기도 전에 답지보는데 어떻게 생각하시나요
오...신개념 공부법인가요??
제가 이걸 깨닫는 데 한참 걸렸었죠..
우리는 수학을 공부하는 게 아니라 '수능' 수학을 공부하고 있음을 깨달을 필요가 있습니다. 이걸 조금 더 일찍 알았더라면 저 역시 후회하지 않았을지도 모르겠네요! 좋은 글 잘 읽었습니다.
맞습니다..!! 이런걸 빨리 깨달을수록 공부를 효율적으로 할수 있는거같아요...!! 누군가는 이런거를 알려줘야 더 편하게 공부할 수 있다고 생각해요..!!
이분칼럼이 너무좋음..ㄹㅇ
감사합니다ㅠㅠ
차피 수능엔 모르면 못푸는 문젠 안나오니
시간만 많으면 답지 덜보는 공부가 맞음
내신같은 유형암기 셤이라면 몰라도
음 그런데 항상 답지를 보면 '더 잘 푸는 방법'을 알 수 있다는 걸 느꼈습니다. 내가 어떻게 꾸역꾸역 답지 안보고 풀었더라도, 혹시 더 잘 푸는 방법이 있었을까 하면서 답지를 확인하는 태도가 수학실력을 빨리 늘리는 데 정말 중요하다고 생각해서요..!! 이 과정들이 쌓여야 30분걸려 풀던 문제를 10분만에 풀 수 있을 정도로 실력을 늘릴 수 있는거같아요
글킨하네여
저도 제가 문제를 풀고난 뒤에 다른강사들이나 해설지에선 어케 풀이했을까 봤거든요
맞아요 이게 핵심인거같아요..!! 답지를 내 풀이를 발전시키기 위해 주도적으로 이용할수있다면 (해설강의도 마찬가지고요) 효율적으로 수학을 공부할 수 있는거같아요
문과님은 이미 그렇게 하고계셨군요... 저는 이걸 수능이 끝나고 나서야 알아버려서 아쉽네요 ㅋㅋㅋ
킬러나 준킬러 문제도 안풀리면 바로 해설지 보는게 좋을까요?
저는 바로 보는게 좋다고 생각하긴 하지만, 역효과가 날 수 있으니 조심하셔야합니다..!! 안나오는걸 너무 끝까지 고민해서 아득바득 푸는건 좀 그렇고, 과정이 막히면 몇번 생각해보고, 음 이건 시간이 좀 걸리겠다 싶으면 답지를 봐서 '아 이렇게 했어야 하는구나!'를 파악하시면 됩니다!! 본문해서도 강조했듯이 그 과정을 내 걸로 만드는 걸 안하면 소용없는 방법입니닷 답지를 봤으면 꼭 다시 스스로 풀어봐주세요!!
굿 이거 괜찮은 듯
답지 풀이를 보고나서 기억에 의존하지 않고 풀이를 스스로 끌어내려고 연습하다보면 점점 거기서 그 생각을 떠올리는게 자연스러워져요. 처음엔 답답해서 그냥 기억대로 풀어보기도 하고 그러는데 그렇게 점점 윤곽이 잡히면서 문제의 논리적 구조라던가 개념들이 어떻게 작용하는 지 이런 것들이 하나씩 보이죠. 근데 한 번에 되는 건 아니고 말그대로 '연습'이라서 좀 적당히 텀을 두면서 '보는 연습' 하는게 좋은 듯요. 한 번 연습할 때도 10분,15분 정도로 제한 두고.
인강에서 알려주는 심화개념 같은 건 혼자서 다 깨달으려면 시간이 걸리니까 도움받으려고 듣는 거고
예를 들어 도형증명 같은 것도 풀이를 알더라도 스스로 '이 조건에서 이걸 얻으려면 어떻게 해야할까..' 계속 생각하다보면 거기서 보조선을 그렇게 긋는 이유를 깨닫는거죠.
와 맞아요 설명을 잘해주셨네요..!! 내가 혼자서는 생각해내지 못한 부분을 답지를 보고 얻어내고, 그걸 나중에 스스로 생각할 수 있게 만드는 것이 정말 중요하다고 생각합니다!! 명쾌하게 정리 잘해주신거같아욧
저는 문제 풀때 이런 접근 저런 접근 하다가 풀리는 경우가 잦은데요, 즉 준킬러를 풀어도 빠르게 한번에 못 풀어요ㅠ..
3모 풀어봤는데 시간안에 못 풀었어요. 준킬러를 풀긴했는데 즉각적으로 풀이를 써냐려가지 못했고, 풀이계획 같은 것 없이 이건가 싶은것들을 다 해보다보니 다음단계에선 뭘해야하지?하면서 막히기도 했어요. 그래서 오래 풀다보면 집중력 떨어져서 계산 실수도 났어요.
킬러는 나중에 건들여봤는데 조건들 중 뭐부터 써야할지 몰라서 중구난방으로 써보다가 포기했어요.
킬러는 고사하고 준킬러라도 시간안에 깔끔하게 풀기 위해서 저는 어떤 연습이나 고민을 해봐야할까요?
그 조건을 정리하는 방법을 공부해야 한다고 생각합니다. 저도 수능볼 때 비슷한 상황이었던거같아요. 초고난도 문제에서 '다음 스텝'이 뭔지, 조건을 뭘써야할지 몰라서 못풀고 했었거든요...
그래서 답지를 보는게 좋다고 생각합니다. 이런접근 저런접근 하다가 풀리면 좋은데, '내가 어떻게 접근했어야 빨리 풀수있었나?' 가 답지에 담겨있는 거니까요. 그 최적 풀이를 계속 공부하고 체화하다 보면, 그 접근의 길이 닦여서 나중에는 어떻게 해야할지 눈에 보일거라고 생각합니다. 그래서 풀이과정을 잘 공부하셔야 된다고 생각합니다!! 그리고 더 좋은 풀이가 있나 계속 생각해보는 것도 중요하고욧
좋지 못한 칼럼 감사하지 않습니다 :(
나쁘지 않은 댓글 싫지 않습니다 (:
11~19사이쯤 어딘가에 수능수학 메타가 심하면 29+1같은 미친 추잡한 난이도분배였던 기간이 있어서 분당 1문제풀고 나머지 30번에 모든시간을 쳐들이든 500개 나열을 하든 아무튼 무조건 어떻게든 개패자 뭐 이런전략 있다고 듣긴 했는데 아마 그때였으면 진득하게 뚫어내는연습이 필요했을 것 같아요 근데 요즘은 ㅇ.ㅇ....
ㅋㅋㅋ 제 수능 전까지가 딱 그랬던것같네요 그래서 제가 30번 공부를 대충했다는...
그런데 사실 초고난도 문제도 답지를 보면서 풀이과정을 공부하는 식으로 공부하면 훨씬 빨리 실력을 늘릴 수 있다고 생각합니다..!!! 확실히 요즘에는 이렇게 공부하는게 더더욱 효율이 좋아지겠네요
문제를 어느정도 이해하고 풀이단계중에서 한부분이 막힌다 생각하면 그때보는건 좋을거같아서 붙잡아놓는다거해서 아이디어가 탁 떠오르지도않고 떠올라도 비효율적인거같아요 근데 무지성으로 답지보는건 지양해야죠
네 맞아요 이게 핵심이죠 막히는 부분을 알아내는 수단으로 이용해야 제대로 답지를 본다고 할수 있겠네요..!!
혹시 본문이 오해를 살만할까요..? 나름대로 이부분을 강조한다고 강조하긴 했는데
이거 보고 '아 이제 그냥 답지봐야지 ㅋㅋ' 식으로 받아들여버리면 안될텐데요...ㅋㅋㅋ
한문제 잡고 해설 안보면서 오랫동안 고민하는건 높은 2등급~낮은 1등급에서 힘을 발휘 한다고 옛날에 저희 학원쌤이 말하신거 생각나요
그 미만 등급 애들은 배운게 없는데 쓸데없이 상위권 애들 공부법 따라해서는 독만된다고 하셨는데 이글 보니 확실한거 같아요
사실 공부를 잘하는 친구들도 이렇게 공부하는게 효율이 좋은거같다고 생각하긴 합니다..!! 왜냐면 제가 그렇게 생각하고 30번 삽질하다가 결국 틀렸기 때문에... 결국 이렇게 하면 모르는 걸 빠르게 채울수 있다는거니까 어느 성적대에서든 먹히지 않나 생각합니다!!
그리고 아무리 1등급이어도 답지나 해설을 보면 풀이를 더 최적화할수도 있다고 생각해요 항상 '어떻게 하면 더 쉽게 풀수있을까'라는 생각을 가지고 공부하는 느낌이랄까요...? 이걸 내가 직접 찾는 것보다는 다른사람이 연구한 걸 배우는 게 더 빠를테니까요!!
답지를 보든 안보든 확실한건 쉽게쉽게 공부한건 쉽게 잊어버리고 쉽게 체화되지 않습니다.
답지를 봤으면 꾸준히 그 부분에 대해 반복해주고 깊게 이해해야 나중에 기억할 수 있습니다.
아 맞는말입니다!! 그래서 답지를 보더라도 거기서 끝나지 않고 스스로 풀수있을때까지 풀어보는게 가장 중요하죠..!! 본문에서도 많이 강조하긴 했지만 역효과가 안나왔으면 좋겠네요..!! ㅋㅋ
좋은 칼럼 감사합니다!
수학공부할 때 참고할게요
선생님 감사합니다.
답지에 대한 가장 명쾌한 답변이라고 생각합니다. 저역시 몇년전부터 이렇게 풀었고 학생들에게 이렇게 하라고들 하는데 그게 말처럼 쉽지가 않은거 같아요 ㅠㅜ
맞아요.. 이게 잘못 받아들이면 최악의 결과를 낳을수도 있긴 해서요... 그냥 무지성으로 답지 보면 큰일나니까요 ㅋㅋㅋ
그래서 항상 주도권을 가지고 능동적으로 공부하는게 중요한 것 같아요...
'어떻게 하면 문제를 더 쉽게풀수있을까?' 라는 질문을 갖고 답지를 수단으로 사용하는거죠...!!
'어떻게 하면 문제를 더 쉽게풀수있을까?' 정말로 공감하는 말씀입니다. 첨언하자면 어떻게 더 올바르고 시험장에서 내가 할 수 있을까를 추가한다면 가장 현실적이고 최선의 공부라고 생각합니다
크 정확합니다...
이걸 주제로 좀더 강조해서 한편 더쓸까요 ㅋㅋㅋ
네네 한번 거 써주심이 좋을 듯 합니다 ㅎㅎ
수분감 step1 기출을 회독하는데, 예전에 풀었던 기출을 보면 발상? 으로 푸는게 아닌 풀이가 머리에 기억이 나서 푸는거같은데 이렇게 진행해도 괜찮을까요? 물론 이해하면서 풀긴합니다,, 약간 기출을 외우는 느낌이 드는데 어떻게 생각하시나요?
문제가 외워져버리는 상태까지 왔으면 사실 그 문제를 더 풀 이유가 없다고 생각합니다 특히 수학은 더더욱 그렇고요..!! 이해도 다 된다고 하시니 이미 소화한 문제들이라고 생각합니다. 틀린거만 한번 더 보시거나 새로운 문제들을 푸는게 더 도움될 것 같아요..!!
아니면 다시 푼다고 하더라도
풀이과정을 최적화한다던지 이 발상을 어떻게 해낼수있을지 생각해본다던지 해서
깊이를 더해서 풀어보는것도 괜찮다고 생각합니다!!
정말 감사해여ㅜㅜ
고1인데 수학 재밌게 할게여
항상 파이팅입니다!!! ㅎㅎㅎ
답지를 보지 말라는 건 사실 답지의 존재 자체를 부정하는 것과 같죠. 보고 배우라고 만든 건데..
또 고민하는 '척' 했던 시간이 많았던 것 같아요 실제로 문제를 어떻게 풀어낼지 사고했었던건지 그냥 멍~만 때렸던건지 아무조록 좋은 칼럼 잘 읽었어용가리