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dear00 [428155] · MS 2012 · 쪽지

2012-12-28 05:25:13
조회수 2,014

역함수 정적분 궁금한거

게시글 주소: https://modern.orbi.kr/0003445544

y = f(x)의 역함수가 y = g(x) 일 때


f(a) = A , f(b) = B 를 만족한다. ( a < b , A < B )


이때 

[ 인테그럴 a 부터 b까지 f(x) dx ] + [ 인테그럴 A 부터 B 까지 g(x) dx ] 의 값 

을 구하는게 문제입니다.. 님들도 여러번 보셨을거 같고요 답은 항상 bB - aA 였습니다

그런데 저는 이거풀때  [ 인테그럴 A 부터 B 까지 g(x) dx ] 를

 [ 인테그럴 A 부터 B 까지 g(y) dy ] 로 항상 고쳐서 풀었거든요

y = f(x)  를,  y축을 정의역으로 보고 x = g(y) 이렇게 바꿔서 푼거에요

그래프를 그려보면 바로 bB - aA 임을 알수 있고요..

그런데 이게 1사분면 말고 다른 사분면에 함수가 있을때, 또는 감소함수일 때도 항상

bB - aA 가 답인가요?

그래프 말고 수식으로 증명좀 해주세요 ㅠㅠ


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dear00 [428155]

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  • 떡배 · 398607 · 12/12/28 08:07

    네 맞습니다.
    치환적분을 이용해서 증명해보면요

    인테그랄 a에서 b f(x) dx + 인테그랄 A 에서 B g(x) dx

    에서 뒷부분
    인테그랄 A에서 B g(x) dx 는
    인테그랄 A에서 B g(y) dy이고
    여기서 y를 f(x)로 치환하면
    A = f(a) , B = f(b) , dy=f ' (x) dx이고 g(f(x)) = x 이니까

    인테그랄 a에서 b x•f ' (x) dx로 바뀌고

    첫식에 넣어서 합치면

    인테그랄 a 에서 b { f(x) + x•f ' (x) } dx 이고

    적분하면 [ x • f(x) ] a에서 b 니까

    대입하시면

    bB - aA 가 나옵니다 .

    허접한답변 죄송.ㅜㅜ

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  • 설수교 · 357512 · 12/12/28 17:12 · MS 2010

    http://blog.naver.com/buljt/10153546810

    관련된 문제와 더불어 질문하신 부분에 대한 답변이 있습니다. 참고로 제 블로그입니다 히히

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